В квартире выровняли пол бетонной стяжкой. Что дальше? Нужно ли дополнительно выравнивать пол фанерой?

Фанерой пол ровнять не надо. Он уже выровнен стяжкой. При попадании даже небольшого количества влаги фанера будет необратимо изменять форму. На свежую стяжку при применении подложки не на полиэтиленовой основе желательно класть пароизоляцию (например, полиэтиленовую пленку). Это избавит от проблем с остаточной влагой. Впрочем, дожидаться высыхания стяжки все равно необходимо.